При Solovetsky манастир се намира Елеазарова пустини, която е била наречена в чест на преподобни Елеазара Анзерского – известния основател на Свето-Троицки обител.Елеазар, роден в малък град Козельске в семейството на търговец Севрюкиных. Според благословение на своите родители, той отиде в Solovetsky манастир, в който е взел постриг от преподобния игумен Иринарха. Веднага след пристигането в манастира Елеазар откри в себе си невероятна способност да художествен занаят и се превръща в активно се учи дърворезба, а по-късно става и сам да участва в де Преображенской на църквата.

В 1612 г. Елеазар напуснал манастира и отишъл в Анзерский остров, където станал водят отшельнический начин на живот, през цялото време живееха в богомыслии и молитви. Постоянно Елеазар на малка планина, намираща се в непосредствена близост до езерото, което сега носи името на Големия Елеазарова. На това място той постави кръст и е изработен малка келью. За това, за да се хранят на опустошенном остров, той извади за себе си малки дървени купички и се оставя ги в непосредствена близост до пристанище. Когато през острова качвах хората, а след това ги съберат за себе си купата, а в замяна на това са оставени продукти и доставки. През 1616 г. Елеазар е пострижен в схиму.

На остров св. живял четири години, а след това переселился в крайбрежната зона на морската устните, скоро наречена света Троица". До Елеазару започнаха да идват поклонници, също както и той търси уединение и безмолвия. Известно е, че преподобният през целия си живот винаги води древен ред пустынножительства. Скоро бе поставено началото на изграждането на Свето-Троицки обител.

Известно е, че през целия си живот св. Елеазар е работил над книгописанием - той не само достига, но и пренаписа няколко книги "цветна градина", в чийто състав влязоха стари и, в по-голяма степен забравени от историята. Освен това, преподобному принадлежи тълкуване на чин монашеского келейного правила.

Елеазарова пустини на дълъг период от време е бил забравен, и само в началото на 19 век йеромонах Йосиф намерени на мястото на престой Елеазара кръст. През 1825 г. е построена малка от дърво параклис в чест на св Елеазара Анзерского, на закрито, на която са били съхранявани ряса и Химни, принадлежащи на този светец. Към днешна дата има информация за няколко икони, след намиращи се в параклиса на: икона на явлението на Дева мария преподобному Иову, икона на св. Филип с преподобния Иринархом и Елеазаром и икона явления на Пресвета Богородица преподобному светия Елеазару.Като се започне от средата на 19 век, на мястото на бившата престой Елеазара живял подвижник, на име Теодор.

През времето на действие на Solovetsky лагери в сградата на Елеазаровой на параклиса е поставен колове охранители. В тези времена на пустините е била опустошена и изоставена в продължение на години.

През 1995 г. се е случило чудо: solovetsky отряд арктика морска експедиция обследовал места, където преди е имало пустини. През 1996-1998 г. на тази територия са били извършени изследвания и археологически разкопки, за които е напълно изчистени основа килии. От старата Елеазаровой параклиси са стигнали до нашето време, само ветхая вратата и началния венец преча. В този момент на мястото на параклиса е обозначен с помощта на дървен кръст.

Важен факт е наличието на острова Anzer, между Свето-Trinity скита и Троица си устна, свети източник, намиращ се съвсем близо до скита. Манастирски иноки грижливо този източник, върху които има преча и беседка, а водата от извора постъпва по дървени тръби. В близост до източник монтиран голям поклонный кръст, на който има надпис, че тя е поставена при строителе Пармене, както и с участието на йеромонах Ефрем 24 октомври 1917 година.

В тези времена, когато имаше Solovetsky лагер, големи водовозы вземете изворна вода за пиене в затвора. Дори и днес, на стари тегловно табла в беседката може да забележите послания и различни по рода си стенопис пленници смъртоносни концентрационните лагери.